• Definujte mieru aktuálnosti riešeného problému v danej oblasti vedy a techniky, z celosvetového pohľadu vrátane relevantných odkazov na odbornú literatúru
• Definujte vedeckú úroveň projektu a vedeckosť metód využívaných v riešení projektu
• Definujte ciele projektu a reálnosť ich dosiahnutia
• Opíšte navrhovanú metodiku riešenia projektu, opodstatnenosť jej výberu a efektívnosť jej pouţitia z hľadiska splnenia deklarovaných cieľov

Graf sa v rôznych formách používa na reprezentovanie informácií. Obzvlášť sa využíva diagram alebo nakreslenie grafu, čo je vlastne geometrická reprezentácia grafu. Diagramy grafov, ktoré spĺňajú isté estetické alebo optimalizačné kritériá, sa vyskytujú v mnohých oblastiach. Napríklad v diskrétnej matematike (teória grafov), algoritmoch (grafové algoritmy, dátové štruktúry), v softvérovom inžinierstve (znázornenie diagramov modelovacích jazykov), v bioinformatike (vizualizácia biochemických sietí), kybergeografii (vizualizácia internetových prepojení), či informatike (analýza sociálnych sietí ako napr. Facebook, Twitter a pod.).

Z hľadiska histórie teórie grafov možno výskum mnohých tradičných tém (farbenie grafov, ohodnotenie grafov, existencia špecifických podgrafov, grafové invarianty) jednotne popísať ako štúdium štruktúr v grafoch. Jednotlivé úrovne štruktúr sa navzájom často ovplyvňujú. Jedným z cieľov projektu je skúmanie vybraných štruktúr v grafoch a ich vzájomného vplyvu. Konkrétne sa plánujeme zaoberať grafovými invariantami, a to priesečníkovým číslom, a "h" vynucujúce číslo grafu. Pri získavaní nových výsledkov v tejto oblasti výskumu plánujeme využívať sofvér. Pri stanovení priesečníkového čísla grafu je potrebné v dôkazoch fixovať jeden resp. viacero konkrétnych podgrafov grafu. Ak v konkrétnom nakreslení grafu očíslujeme vrcholy prirodzenými číslami, tak následne vieme pomocou cyklickej permutácie jednoznačne identifikovať spôsob prepojenia hrán nového vrcholu s vrcholmi grafu v dohodnutom smere. Všetky vzniknuté permutácie a vzťahy medzi nimi vieme jednoznačne interpretovať prostredníctvom cyklicky-usporiadaného grafu, ktorého vlastnosti môžeme následne využiť pri zisťovaní minimálneho počtu pretnutí dvoch podgrafov reprezentovanými cez zmienené cyklické permutácie. Pri skúmaní vlastností cyklicky-usporiadaného grafu je možné využiť výpočtovú techniku prostredníctvom Matlabu resp. iného programovacieho jazyka.

Zhrnutie základných pojmov a vlastností grafov teórie grafov môžeme nájsť v literatúre:

J. A. Bondy, U. S. R. Murty: Graph Theory, Springer, 2008.
R. Diestel: Graph Theory, Springer-Verlag, New York, 2000.

Grafy rovnako vznikajú pri modelovaní rôznych organizačných štruktúr vytvárajúcich sieť. Modelovanie dynamiky v sieťach je asi najprirodzenejším rozšírením tradičného modelovania dynamických systémov. Skúmame, ako sa stavy komponentov (alebo uzly) v priebehu času menia prostredníctvom ich interakcie s ostatnými uzlami, s ktorými sú prepojené. Tieto prepojenia sú znázornené ako spoje v sieti, pričom sa predpokladá, že topológia siete sa po celú dobu nemení. Do tejto triedy patria napríklad celulárne automaty, počítačové siete a umelé neurónové siete.

Ako kľúčový faktor pri modelovaní dynamiky v sieti sa ukázalo časové oneskorenie. Presnejšie povedané, komunikácia medzi uzlami môže byť oneskorená (čo je spôsobené konečnou rýchlosťou šírenia komunikačných signálov). Časový vývoj systémov je teda často daný nielen aktuálnym stavom systému, ale aj stavom systému v skoršom časovom bode. Z tohto dôvodu musí byť daný systém reprezentovaný ako sústava diferenciálnych (diferenčných) rovníc s oneskorením. Na jednej strane vyžaduje implementácia oneskorenia do systému vytvorenie nových metód pre kvalitatívnu a kvantitatívnu analýzu, na druhej strane oneskorenie spôsobí, že kvalitatívne správanie môže byť veľmi odlišné od odpovedajúcej obyčajnej diferenciálnej rovnice, ktorá sa získa nastavením oneskorenia na nulu.

Ďalšou málo preskúmanou úlohou v teórii rovníc s oneskorením je vyšetrovanie rovníc s niekoľkými oneskoreniami. To je v protiklade k faktu, že v mnohých aplikáciách sú práve dĺžky oneskorenia jednotlivých komunikačných kanálov rôzne.
Za základnú knižnú literatúru v tomto smere je možné pokladať:

Atay, Fatihcan M., ed.: Complex time-delay systems: theory and applications, Springer, 2010.
Agarwal, Ravi P., Donal O'Regan, and Samir H. Saker: Oscillation and Stability of Delay Models in Biology, Springer, 2014.
Niculescu, Silviu-Iulian, and Keqin Gu, eds.: Advances in time-delay systems, Vol. 38, Springer Science & Business Media, 2012.

Pre popis (vo všeobecnosti) dynamických systémov sa využívajú diferenciálne, resp. diferenčné rovnice. V minulých rokoch boli v prírodných vedách uvažované buď úplne spojité alebo diskrétne matematické modely. Avšak, tieto modely sa rýchlo stávajú nedostatočné, keď je potreba uvažovať spojitú zmenu správania sa systému na určitom intervale a diskrétnu na inom intervale. Zhruba pred 20-timi rokmi poskytol Stefan Hilger prostriedok pre modelovanie takýchto systémov v podobe jednotnej matematickej teórie nazvanej time scale calculus (kalkulus na časových škálach). Ten sa so svojím potenciálom pre aplikáciu na širokú škálu interdisciplinárnych problémov postupne stáva kľúčovou oblasťou matematiky. Je schopný zjednotiť spojitú a diskrétnu analýzu v rámci jednej súvislej teoretickej oblasti. Vzhľadom k tejto skutočnosti kalkulus na časových škálach priťahuje pozornosť mnohých matematikov a záujem o túto tému je vysoko aktuálny (a stále rastie). Získané výsledky pojednávajú o existencii, jednoznačnosti a asymptotickom správaní sa (stabilita, periodickosť) netriviálnych neoscilatorických riešení dynamických rovníc, resp. systémov. Zhrnutie základných poznatkov je možné nájsť v monografiách:

Bohner M., Peterson A.: Dynamic equations on time scales: An introduction with applications, Springer Science & Business Media, 2012.
Bohner M., Peterson A. C. , eds.: Advances in dynamic equations on time scales, Springer Science & Business Media, 2002.
Agarwal, Ravi, et al.: Dynamic equations on time scales: a survey, Journal of Computational and Applied Mathematics 141.1, 2002.
Lakshmikantham, Vangipuram, S. Sivasundaram, and B. Kaymakçalan: Dynamic systems on measure chains, Vol. 370, Springer Science & Business Media, 2013.

Existuje množstvo otvorených teoretických problémov v daných oblastiach výskumu a vzhľadom na vyššie uvedený súčasný stav a relevantné zdroje je zrejmé, že uvedené oblasti výskumu sú vysoko aktuálne.

Na splnenie stanovených cieľov tohto projektu plánujeme na základe existujúcej časopiseckej literatúry priamo nadviazať na už známe výsledky, dosiahnuť ich zlepšenie, popr. zovšeobecnenie. V snahe oboznámiť sa s najnovšími výsledkami a nadviazať užšiu spoluprácu so zahraničnými matematikmi s perspektívou publikovania získaných výsledkov plánujeme prezentovať dosiahnuté výsledky na medzinárodných konferenciách a domácich konferenciách s medzinárodnou účasťou.

• Definujte mieru originálnosti projektu
• Opíšte navrhovaný koncept riešenia a formulujte vedeckú hypotézu
• Definujte význam predbežných výsledkov, nadväznosť navrhovaného riešenia na vlastné publikované výsledky

Originalita projektu spočíva v získaní nových vedeckých výsledkov v daných oblastiach výskumu. Riešiteľský tím už publikoval niekoľko zaujímavých vedeckých výsledkov vo svojich výskumných oblastiach. Medzi najvýznamnejšie výsledky patria v rámci oblasti teórie grafov - určovanie priesečníkového čísla vybraných grafov, nájdenie všetkých grafov s konkrétnym priesečníkovým číslom, "h" vynucujúce číslo grafu a v rámci oblasti diferenciálnych rovníc - kvalitatívnej teórie funkcionálnych diferenciálnych rovníc, porovnanie a analýza využitia metód analytického riešenia systémov diferenciálnych rovníc s oneskorením pri vyšetrovaní kvalitatívnych vlastností systému, navrhnutie metodiky pre vyšetrovanie viacčlenných diferenciálnych rovníc vyššieho rádu a poukázanie na aplikačné využitie v teórii elasticity.
Členovia riešiteľského kolektívu plánujú nadviazať na už dosiahnuté výsledky a pomocou doterajších vedomostí a časopiseckej literatúry dosiahnuť ich zlepšenie, popr. zovšeobecnenie.
Vzhľadom na finančný strop rozpočtu orientujeme požiadavky prevažne na prezentáciu výsledkov (konferenčného, resp. publikačného typu) - konkrétne na poplatok za účasť na konferenciách, poplatok za publikácie v impaktovaných, resp. karentových zahraničných časopisoch a taktiež na nadobudnutie potrebného softvéru, či hardvéru.

• Definujte harmonogram riešenia projektu s ohľadom na logickú nadväznosť postupov a na napĺňanie deklarovaných cieľov
• Vysvetlite adekvátnosť použitej metodiky
• Vysvetlite adekvátnosť navrhnutého rozpočtu projektu v kontexte finančnej náročnosti dosiahnutia cieľov
• Stanovte časový plán realizácie a naplnenia stanovených vedeckých cieľov

Aby sa dosiahla čo najvyššia efektívnosť riešenia výskumných úloh tohto projektu, budú jednotlivé problémy rozdelené medzi riešiteľov podľa ich špecializácie a vedeckého záujmu. Riešitelia sa budú pravidelne stretávať a navzájom sa informovať popr. diskutovať o dosiahnutých čiastkových výsledkoch, o otvorených problémoch na spoločných seminároch. Aktuálnosť informácií v jednotlivých oblastiach výskumu riešitelia získajú štúdiom odbornej literatúry a účasťou na domácich a zahraničných konferenciách, či seminároch.

Časovo harmonogram projektu môžeme rozdeliť do dvoch etáp:
V prvej etape sa riešitelia na základe svojej vedeckej špecializácie zamerajú na štúdium existujúcich výsledkov s cieľom ich rozšíriť popr. zovšeobecniť, poskytnúť riešenie niektorých otvorených problémov. V druhej etape sa riešitelia pokúsia prepojiť jednotlivé oblasti výskumu pri realizácii úloh spojených s bodom 3 Vedeckých cieľov projektu.

• Odôvodnite kompetentnosť zúčastnených riešiteľských organizácií na riešenie predkladaného projektu v kontexte hlavných úloh, ktoré budú jednotlivé organizácie v projekte zabezpečovať
• Opíšte kompetentnosť jednotlivých riešiteľov na riešenie predkladaného projektu a základné úlohy, ktoré budú v rámci implementácie projektu realizovať (netýka sa zodpovedného riešiteľa)
• Opíšte spôsob kooperácie riešiteľov, ich vzájomnú komplementaritu a zastupiteľnosť pri riešení projektu
• Opíšte existujúcu prístrojovú a personálnu infraštruktúru pracovísk podieľajúcich sa na implementácii projektu
• Opíšte mieru zapojenia mladých pracovníkov výskumu a vývoja do 35 rokov vrátane študentov doktorandského štúdia do riešenia projektu

Riešiteľský kolektív pozostáva zo zamestnancov (traja odborní asistenti) Katedry matematiky a teoretickej informatiky, doktorandky a študentky inžinierskeho štúdia odboru Počítačové modelovanie zastrešovaného danou katedrou. Ako riešitelia vidíme možnosti vlastného prínosu v rozšírení alebo zovšeobecnení doterajších výsledkov v daných oblastiach a v získaní vedeckých výsledkov v niektorých otvorených problémoch. Zárukou kompetentnosti riešiteľského kolektívu sú už dosiahnuté výsledky v oblasti teórie grafov ako aj kvalitatívnej teórie funkcionálnych diferenciálnych rovníc. Tieto výsledky boli publikované v renomovaných matematických impaktovaných aj karentovaných časopisoch a taktiež prezentované na rôznych konferenciách s medzinárodnou účasťou.

Rozdelenie úloh pre splnenie stanovených vedeckých cieľov projektu je nasledovný: \\
- Na riešení úlohy č. 1 Vedeckých cieľov projektu sa budú podieľať Mgr. J. Petrillová, PhD., RNDr. M. Staš, PhD. a RNDr. M. Timková, PhD. Konkrétne sa zamerajú na skúmanie jednotlivých vybraných charakteristík v grafoch, ich vzájomne ovplyvňovanie a zároveň sa zamerajú aj na samotné skúmanie daných vlastností grafov s využitím softvéru.
- Ing. I. Jadlovská sa zameria na výskum orienovaný na úlohu č. 2 Vedeckých cieľov projektu. V tomto smere (konkrétne v oblasti kvalitatívnej analýzy vybraných diferenčných rovníc) sa bude, v rámci definovaných cieľov diplomovej práce, podieľať aj Bc. R. Solotruková.
- Kooperácia všetkých členov riešiteľského kolektívu sa očakáva pri riešení úlohy č. 3 Vedeckých cieľov projektu.